スクリーンに映る実像の大きさが光源の２倍の大きさの時の焦点距離（２０１３年神奈川）

作図によって、焦点距離を考える

焦点距離がわからない凸レンズがある。図のように,高さa (cm) の光源とスクリーンの間にこの凸 レンズを置き,光源から凸レンズまでの距離と凸レンズからスクリーンまでの距離を変化させ,スク リーンにうつる光源の像の高さを測定した。スクリーンにはっきりとうつった光源の像の高さが2a [cm] であったとき、光源から凸レンズまでの距離が15cmであった。この凸レンズの焦点距離は何 cm と考えられるか。その値を書きなさい。

【１】レンズの公式を使う

(1)光源の先端をＡとしそれが、凸レンズの中心を通り、スクリーン上に達する光の道筋を書き、スクリーン上の点をＣとする。

(2)レンズからスクリーンまでの距離を求める

△ＯＡＢ∽△ＯＣＤよりＡＢ：ＣＤ＝ＯＢ：ＯＤ

ａ：２ａ＝１５：ＯＤ

ＯＤ＝３０

(3)レンズの公式に代入する

【２】三角形の相似だけで解く

(1)スクリーンに２ａの像が映ることから、スクリーンに映った光源の先端からレンズの中心線に向けて、光軸と平行な直線を書く（青）

②レンズの中心線から光源の先端に線を引く（茶）このとき、光軸との交点をＦとする。

(2)三角形の相似が考えやすいように、記号を付ける。

(3)レンズの中心から光源までの距離が１５cmというので相似三角形の計算をする

△ＡＦＢ∽△ＣＦＯ

ＣＯ＝２ａ　ＢＯ＝１５cm　ＦＯ＝ｆとするとＢＦ＝15-ｆ

ＡＢ：ＣＤ＝ＦＢ：ＦＯ＝a:2a＝15-f:f

２ａ✕（１５ーｆ）＝ａｆ

２（１５ーｆ）＝ｆ

３０ー２ｆ＝ｆ

３ｆ＝３０

　ｆ＝１０

焦点距離　１０ｃｍ

まとめ

レンズの公式を使う方法は、高校レベルであり中学では学習していない。

神奈川県の入試は教科書の範囲を超えるような内容が出題されることが時々あるのでこれも高校レベルの知識が必要な問題に見える。（実際にレンズの公式を使うと簡単に出る）

しかし、焦点を通る光は、レンズを通過後、スクリーンまで光軸と平行になるというレンズの作図方法の理解がされているなら、レンズの中心線においても光源から光がレンズに入ってきた点Ｃとレンズの中心Ｏとの距離も２ａになるということ

　△ＡＢＦと△ＣＯＦが直角三角形で

∠ＡＦＢ＝∠ＣＦＯが対頂角で等しい。

直角三角形の相似条件、１つの角が等しいことより相似であり

　ＡＢ：ＣＯ＝1：2であること

ＢＯが１５cm

でＦはＢＯを１：２に内分する点であることを利用すれば解くことができる。

　数学的思考力が必要な問題である。