スクリーンに映る実像の大きさが光源の2倍の大きさの時の焦点距離(2013年神奈川)
作図によって、焦点距離を考える
焦点距離がわからない凸レンズがある。図のように,高さa (cm) の光源とスクリーンの間にこの凸 レンズを置き,光源から凸レンズまでの距離と凸レンズからスクリーンまでの距離を変化させ,スク リーンにうつる光源の像の高さを測定した。スクリーンにはっきりとうつった光源の像の高さが2a [cm] であったとき、光源から凸レンズまでの距離が15cmであった。この凸レンズの焦点距離は何 cm と考えられるか。その値を書きなさい。
【1】レンズの公式を使う
(1)光源の先端をAとしそれが、凸レンズの中心を通り、スクリーン上に達する光の道筋を書き、スクリーン上の点をCとする。
(2)レンズからスクリーンまでの距離を求める
△OAB∽△OCDよりAB:CD=OB:OD
a:2a=15:OD
OD=30
(3)レンズの公式に代入する
【2】三角形の相似だけで解く
(1)スクリーンに2aの像が映ることから、スクリーンに映った光源の先端からレンズの中心線に向けて、光軸と平行な直線を書く(青)
②レンズの中心線から光源の先端に線を引く(茶)このとき、光軸との交点をFとする。
(2)三角形の相似が考えやすいように、記号を付ける。
(3)レンズの中心から光源までの距離が15cmというので相似三角形の計算をする
△AFB∽△CFO
CO=2a BO=15cm FO=fとするとBF=15-f
AB:CD=FB:FO=a:2a=15-f:f
2a✕(15ーf)=af
2(15ーf)=f
30ー2f=f
3f=30
f=10
焦点距離 10cm
まとめ
レンズの公式を使う方法は、高校レベルであり中学では学習していない。
神奈川県の入試は教科書の範囲を超えるような内容が出題されることが時々あるのでこれも高校レベルの知識が必要な問題に見える。(実際にレンズの公式を使うと簡単に出る)
しかし、焦点を通る光は、レンズを通過後、スクリーンまで光軸と平行になるというレンズの作図方法の理解がされているなら、レンズの中心線においても光源から光がレンズに入ってきた点Cとレンズの中心Oとの距離も2aになるということ
△ABFと△COFが直角三角形で
∠AFB=∠CFOが対頂角で等しい。
直角三角形の相似条件、1つの角が等しいことより相似であり
AB:CO=1:2であること
BOが15cm
でFはBOを1:2に内分する点であることを利用すれば解くことができる。
数学的思考力が必要な問題である。